Pictor - Football hyperbolique

Football hyperbolique

Football hyperbolique

Inutile de présenter le football, sport médiatique par excellence.
S'il nous est demandé d'associer des figures géométrique à ce sport, les réponses seront peut-être:
- le rectangle (le terrain)
- la sphère (le ballon),
- l'Icosaèdre tronqué (le ballon, dans une vision plus proche de la réalité)
- le cercle (le rond central),
- le quadrant ou quart de cercle (arc de corner)
- la parabole (trajectoire du ballon en l'absence d'air)

L'hyperbole ne sera sans doute pas souvent citée.

Cette page a pour objet de faire connaître cette figure et son utilité dans le contexte du football, ou plus largement dans celui des sports où on se trouve face à des "cages".

La question traitée dans cette page est celle-ci:
Lorsqu'on se trouve à x mètres de la ligne de touche, comment se placer de manière à voir le but adverse se présenter sous un angle le plus ouvert possible.

Sur la figure ci-dessous, il est est clair que dans les positions 1 et 3, le but se présente sous un angle très petit. Dans la pratique il sera difficile de marquer depuis ces positions. Par contre, depuis la position 2 l'angle est plus ouvert.

Une question se pose: si on suppose que le joueur a toute liberté de mouvement le long de la ligne de touche, où doit-il se positionner de manière à voir le but adverse ouvert au maximum ?

Formulation:
Sur la figure ci-dessous, le joueur J se trouve à "a"mètres de l'axe du poteau A. Les poteaux gauche et droit ont des angles de position notés respectivement α_a et α_b. Le but est vu sous un angle α.

Ces angles vérifient les relations trigonométriques suivantes:

tg α_a = a / y
tg α_b = b / y

L'angle sous lequel on voit le but [AB] est fonction de y:

α(y) = α_b - α_a = Arctg (b/y) - Arctg (a/y)

Lorsque J se déplace parallèlement à la ligne de touche (y varie de 0 à la longueur du terrain), l'angle α passe par un maximum pour une valeur de y donnée (notée yM), telle que la dérivée de α(y) s'annule au point yM: (Eq.1)

Sachant que

L'eq. 1 se réécrit donc:

Après quelques manipulations, on extrait yM, ce qui nous donne le point optimal pour shooter:

yM = √(ab)

Pour utiliser des unités plus parlantes, on peut utiliser la largeur du but L=[AB], de telle sorte que pour une distance a donnée, le point de tir optimal se trouve a la cordonnée

yM = √( a (a+L) ) (Eq. 2)

L'équation de cette courbe étant posée et son graphe tracé (voir figure ci-dessous), il est intéressant de se demander la nature de cette courbe.

L'éq. 2 décrit une hyperbole.
Ses asymptotes (en bleu) passent par le centre de la ligne de but et la coupent avec un angle de 45°. Cette hyperbole est dite rectangle ou equilatère: c'est une conique d'excentricité e=√2

Dans la pratique du terrain, les asymptotes constituent une approximation acceptable.

A noter, une page web décrit cette optimisation dans le contexte du rugby par une méthode purement géométrique permet de trouver le point optimal pour transformer un essai (l'hyperbole n'est cependant pas mentionnée).

Date de création : 31/03/2006 @ 20:31
Dernière modification : 21/05/2009 @ 17:08
Catégorie : Théorie
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Réactions à cet article

Réaction n°4 par yeezy le 16/07/2023 @ 05:04

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